На доске записано выражение: Петя и Вася играют в следующую игру. Они по очереди заменяют «*» знаком «+» или «-». Петя хочет, чтобы после замены всех звёздочек полученное выражение при всех натуральных делилось на 6 . А Вася хочет чтобы не делилось.

Добавлена: 29.04.2026
Обновлена: 29.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория игр

Условие:

На доске записано выражение: $

n * n^{2} * n^{3} * n^{4} * \ldots * n^{15} * n^{16} $

Петя и Вася играют в следующую игру. Они по очереди заменяют «*» знаком «+» или «-». Петя хочет, чтобы после замены всех звёздочек полученное выражение при всех натуральных $n$ делилось на 6 . А Вася хочет чтобы не делилось. Первым ходит Вася. Кто из них может выиграть независимо от игры соперника, и как он для этого должен играть?

Решение:

Постановка. На доске написано выражение

* n * n² * n³ * … * n¹⁶

где вместо каждого знака «*» игроки по очереди подставляют знак «+» или «–». Итоговое выражение выглядит как

ε₁·n + ε₂·n² + … + ε₁₆·n¹⁶ (при этом каждый εₖ равен +1 или –1).

Петя хочет, чтобы получившееся выражение делилось на 6 при всех натуральных n, а Вася – чтобы нашёлся хотя бы один n, при котором деление на 6 не происходит. Поскольку 6 = 2·3, разложим задачу по делимости на 2 и
3.

Шаг 1. Делимость на 2

Если n – чётное, все члены кратн...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое ключевое свойство выражения $ \varepsilon_1 \cdot n + \varepsilon_2 \cdot n^2 + \ldots + \varepsilon_{16} \cdot n^{16} $ обеспечивает его делимость на 2 при любых натуральных $ n $, независимо от выбора знаков $ \varepsilon_k $?

Сумма всех коэффициентов $\varepsilon_k$ всегда чётна.

При нечётном $n$ , каждый член $\varepsilon_k \cdot n^k$ нечётный, а количество членов (16) чётное, что делает общую сумму чётной. При чётном $n$ , все члены чётны.