Пусть X1,….Xn – выборка из эксопоненциального распределения со сдвигом с плотностью p(x)=e^-(x-a), x>a. Постройте асимптотический доверительный интервал уровня доверия 1-α для параметра α

Для построения асимптотического доверительного интервала для параметра $a$ в экспоненциальном распределении со сдвигом, следуем следующим шагам:

Шаг...

Пусть $X2, \ldots, X_n$ — независимые и одинаково распределенные случайные величины, имеющие плотность распределения:

$$p(x) = e^{-(x-a)}, \quad x a$$

Это означает, что $X_i$ имеет экспоненциальное распределение со сдвигом $a$.

Для оценки параметра $a$ можно использовать метод максимального правдоподобия. Функция правдоподобия для данной выборки будет выглядеть следующим образом:

L(a) = \prodi - a)} = e^{-n \bar{X} + na}

где $\bar{X} = \frac{1}{n} \sumi$ — среднее значение выборки.

Чтобы найти максимальное значение функции правдоподобия, необходимо взять производную по $a$ и приравнять её к нулю:

$$\frac{\partial L(a)}{\partial a} = n - n = 0$$

Таким образом, максимальное правдоподобие достигается при $\hat{a} = \min(X2, \ldots, X_n)$.

Согласно центральной предельной теореме, для больших $n$ распределение оценок будет приближаться к нормальному:

$$\sqrt{n}(\hat{a} - a) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)$$

где $\sigma^2$ — дисперсия. Для экспоненциального распределения со сдвигом дисперсия равна $\frac{1}{\lambda^2}$, где $\lambda = 1$ (параметр распределения).

Асимптотический доверительный интервал для $a$ можно записать как:

$$\hat{a} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$$

где $z_{\alpha/2}$ — квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий уровню доверия $1 - \alpha$.

Таким образом, доверительный интервал для параметра $a$ будет выглядеть следующим образом:

$$\left( \hat{a} - z{\alpha/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \right)$$

Подставляя $\hat{a} = \min(X2, \ldots, X_n)$, получаем окончательный вид доверительного интервала для параметра $a$:

$$\left( \min(X2, \ldots, X{\alpha/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}, \min(X2, \ldots, X{\alpha/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \right)$$

Это и есть асимптотический доверительный интервал уровня доверия $1 - \alpha$ для параметра $a$.