Решение задачи на тему

Дискретные случайные величины Вариант 1 Случайная величина X задана таблицей распределения a) Найдите a ; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите M(X), D(X), σ(X).

Условие:

Дискретные случайные величины
Вариант 1
Случайная величина X задана таблицей распределения

X	5	7	10	15
p	0,2	0,5	0,2	a

a) Найдите a ; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите M(X), D(X), σ(X).

Для решения задачи, давайте пройдемся по каждому пункту по порядку.

Сначала мы знаем, что сумма всех вероятностей должна равняться 1. В нашей таблице распределения вероятностей:

p2 + p4 = 1

где $p2 = 0,5$ , $p4 = a$ .

Подставим известные значения:

0,2 + 0,5 + 0,2 + a = 1

Теперь сложим известные вероятности:

0,2 + 0,5 + 0,2 = 0,9

Теперь у нас есть уравнение:

0,9 + a = 1

Решим его для $a$ :

a = 1 - 0,9 = 0,1

Таким образом, $a = 0,1$ .

Теперь, когда мы знаем все вероятности, можем построить многоугольник распределения. У нас есть следующие значения:

\begin{array}{|c|c|} \hline X p \\ \hline 5 0,2 \\ 7 0,5 \\ 10 0,2 \\ 15 0,1 \\ \hline \end{array}

Для построения многоугольника распределения, мы можем использовать кумулятивные вероятности:

Теперь мы можем построить многоугольник распределения, используя точки:

Теперь найдем математическое ожидание $\mathrm{M}(X)$ :

\mathrm{M}(X) = \sum (Xi)

Подставим значения:

\mathrm{M}(X) = 5 \cdot 0,2 + 7 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,2 + 15 \cdot 0,1

Вычислим:

\mathrm{M}(X) = 1 + 3,5 + 2 + 1,5 = 8

Теперь найдем дисперсию $D(X)$ :

D(X) = \sum (Xi) - (\mathrm{M}(X))^2

Сначала найдем $\sum (Xi)$ :

\sum (Xi) = 5^2 \cdot 0,2 + 7^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,2 + 15^2 \cdot 0,1

Вычислим:

= 25 \cdot 0,2 + 49 \cdot 0,5 + 100 \cdot 0,2 + 225 \cdot 0,1

= 5 + 24,5 + 20 + 22,5 = 72

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

D(X) = 72 - 8^2 = 72 - 64 = 8

Теперь найдем стандартное отклонение $\sigma(X)$ :

\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{8} \approx 2,83