Вероятность появления события в k-ом опыте равна pk (k=1,2,...,n). Доказать, что производящими функциями для вероятностей появления события соответственно больше k раз и не больше k раз при n независимых опытах являются функции: 1(u)=(1-произведение k=1

Добавлена: 12.05.2026
Обновлена: 12.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Условие:

Вероятность появления события в k-ом опыте равна pk (k=1,2,...,n). Доказать, что производящими функциями для вероятностей появления события соответственно больше k раз и не больше k раз при n независимых опытах являются функции:\nR1(u)=(1-произведение k=1 to n(qk-pku))/(1-u)\nR2(u)=(произведение k=1 to n(qk+pku)-u^(n+1))/(1-u)

Решение:

Обозначим вероятность появления события в k-ом опыте как pk, а вероятность его не появления как qk = 1 - pk.
Рассмотрим n независимых опытов. Вероятности появления события в каждом из опытов независимы, поэтому мы можем использовать произведение вероятностей для нахождения общей вероятности.
Для начала найдем производящую функцию для вероятностей появления события больше k раз.
Вероятность того, что событие произойдет больше k раз, можно выразить через веро...