Для квадратичной формы, заданной своей матрицей в некотором базисе, найти матрицу перехода к каноническому базису (убедиться в правильности расчетов, выполнив проверку); ранг, сигнатуру, положительный и отрицательный индексы инерции; записать канонический

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Условие:

Для квадратичной формы, заданной своей матрицей в некотором базисе, найти матрицу перехода к каноническому базису (убедиться в правильности расчетов, выполнив проверку); ранг, сигнатуру, положительный и отрицательный индексы инерции; записать канонический вид квадратичной формы в найденном базисе. $ B=\left[

\begin{array}{cccc} -1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \end{array}

Решение:

Шаг 1: Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Сначала найдем собственные значения матрицы $B$ . Для этого вычислим характеристический многочлен, который определяется как $\det(B - \lambda I) = 0$ , где $I$ — единичная матрица.

B - \lambda I = \begin{bmatrix} -1 - \lambda & -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 - \lambda & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 - \lambda \end{bmatrix}

Теперь вычислим определитель этой матрицы. Для этого можно использовать метод разложения по строкам или столбцам. После вычисления определителя, мы получим характеристичес...