Доказать неравенство Указание. Использовать неравенство

Добавлена: 02.05.2026
Обновлена: 02.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Условие:

Доказать неравенство

n!&lt;\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} \text { при } n&gt;1 \text { . }

Указание. Использовать неравенство

\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}&gt;2 \quad(n-1,2, \ldots)

Решение:

Наша цель – доказать, что для любого натурального n > 1 выполняется неравенство

n! < ((n + 1)/2)^n.

Мы можем доказать это неравенство, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Рассмотрим набор чисел 1, 2, …, n. Среднее арифметическое этих чисел вычисляется по формуле
(1 + 2 + … + n)/n = (n(n + 1)/2)/n = (n + 1)/2.
Среднее геометрическое этих чисел равно
(n!)^(1/n).
Из неравенст...