Докажите, что функция удовлетворяет уравнению .

Добавлена: 09.05.2026
Обновлена: 09.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Докажите, что функция удовлетворяет уравнению .

Условие:

Докажите, что функция $z=\cos (x y)$ удовлетворяет уравнению $y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=0$ .

Решение:

Найдем первую частную производную $z$ по $x$ :
$z = \cos(xy)$
Используем правило дифференцирования сложной функции:
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(xy) \cdot y$
Найдем вторую частную производную $z$ по $x$ :
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\sin(xy) \cdot y\right)$
Применяем правило произведения:
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy)) = -y \cdot \cos(xy) \cdot y = -y^{2} \cos(xy)$
Найдем первую частную производную $z$ по $y$ :
$\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(xy) \cdot x$
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое правило дифференцирования применяется при нахождении второй частной производной функции $ z = \cos(xy) $ по $ x $, если первая частная производная по $ x $ равна $ -y \sin(xy) $?

Правило цепи (дифференцирование сложной функции)

Правило произведения

Правило частного