Найдите расстояние от точки до многообразия, задаваемого системой уравнений

Рассмотрим задачу: найти расстояние от точки b = (3, 1, –2, 2) до многообразия M ⊂ ℝ⁴, задаваемого системой линейных уравнений

  3x₁ + 2x₂ – 4x₃ – 3x₄ = 1
  2x₁ – 2x₂ – x₃ – 2x₄ =
2.

Пусть A – матрица системы, а d – столбец правых частей. Тогда

  A = [3 2 –4 –3; 2 –2 –1 –2] и d = (1, 2).

Найти расстояние от точки b до M можно как расстояние от b до её проекции x₀ на M, которое определяется решением задачи наименьших квадратов:
найти такое x₀, что A x₀ = d и ||x₀ – b|| минимально.

Шаг 1. Представляем задач...