Найдите все значения параметра , при каждом из которых множеством решений системы неравенств является отрезок числовой прямой, длина которого равна 2.

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория оптимизации

Найдите все значения параметра , при каждом из которых множеством решений системы неравенств является отрезок числовой прямой, длина которого равна 2.

Условие:

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых множеством решений системы неравенств $ \left{

\begin{array}{l}\na x \geqslant 2 \\ \sqrt{x-1} \geqslant a \\ 3 x \leqslant 2 a+11 \end{array}

является отрезок числовой прямой, длина которого равна 2.

Решение:

Рассмотрим систему неравенств

(1) a·x ≥ 2,
(2) √(x – 1) ≥ a,
(3) 3x ≤ 2a +
11.

Заметим, что функция √(x – 1) определена только при x ≥ 1, поэтому область определения x – все числа не меньше
1.

Для первого неравенства важно разделить случай, когда a положительный, и случай, когда a отрицательный или равен нулю.

Если a = 0, то (1) превращается в 0 ≥ 2, что невозможно. Если a < 0, то (1) можно переписать, разделив неравенство на отрицательное число (при этом знак неравенства меняется):
x ≤ 2/a.<br /...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При каких условиях параметр $a$ в системе неравенств $\left\{\begin{array}{l}a x \geqslant 2 \\ \sqrt{x-1} \geqslant a \\ 3 x \leqslant 2 a+11\end{array}\right.$ должен быть положительным?

Параметр $a$ должен быть положительным, чтобы неравенство $ax \ge 2$ имело решения при $x \ge 1$ .