Условие:
Натуральные числа таковы, что все дроби попарно различны и каждая из них меньше . Костя хочет прибавить к числителям по так, чтобы сумма полученных дробей всё ещё была меньше . При каком максимальном Костя заведомо сможет это сделать?
Решение:
- Пусть у нас имеется n – 1 дробь вида
aᵢ/i (где i = 2, 3, …, n).
Из условия aᵢ < i (так как дробь меньше 1) следует, что максимум можно брать aᵢ = i –
1.
- Рассмотрим «наихудший» (то есть максимально большую) сумму тех дробей, которая получается при выборе aᵢ = i – 1. Тогда сумма исходных дробей равна:
S = Σ (i–1)/i, i от 2 до n.
Заметим, что (i–1)/i = 1 – 1/i, поэтому
S = Σ [1 – 1/i] = (n – 1) – Σ (1/i) для i от 2 до n.
Обозначим:
H = Σ (1/i) (i от 2 до n);
тогда S = n – 1 – H.
- Теперь Костя...
Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит
Попробуй решить по шагам
Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение
Что нужно знать по теме:
Что нужно знать по теме
Алгоритм решения
Топ 3 ошибок
Что спросит препод
Похожие задачи