Саша для каждого натурального числа n проводит следующую процедуру. Он выписывает остатки от деления n на 1, 2. ... [n/2] (где [n/2] - наибольшее целое число, не превосходящее n/2). Количество различных остатков среди выписанных он обозначает r(n).

Добавлена: 05.10.2026
Обновлена: 05.10.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Дискретная математика
#Теория чисел

Условие:

Саша для каждого натурального числа n проводит следующую процедуру. Он выписывает остатки от деления n на 1, 2. ... [n/2] (где [n/2] - наибольшее целое число, не превосходящее n/2). Количество различных остатков среди выписанных он обозначает r(n).
Например, r(11) = 4, потому что остатки от деления 11 на 1, 2, 3, 4, 5 равны соответственно 0, 1, 2, 3, 1 и среди них ровно 4 различных.
Какое наибольшее значение может принимать разность r(n + 1) - r(n)

Решение:

Для решения этой задачи проанализируем, как меняется количество различных остатков $r(n)$ при переходе от $n$ к $n+1$ .

Дано:

$n$ — натуральное число.
Процедура: выписываются остатки от деления $n$ на $k$ , где $k \in \{1, 2, \dots, \lfloor n/2 \rfloor\}$ .
$r(n)$ — количество различных остатков в этом наборе.
Нужно найти: $\max(r(n+1) - r(n))$ .

Решение:

1. Анализ остатков: Остаток от деления $n$ на $k$ равен $n \pmod k$ . Для числа $n$ мы рассматриваем множество остатков $S_n = \{ n \pmod 1, n \pmod 2, \dots, n \pmod{\lfloor n/2 \rfloor} \}$ . Заметим, что $n \pmod 1 = 0$ вс...