Вычислить производные первого порядка: а) ; б) ; ) .

Добавлена: 16.04.2026
Обновлена: 16.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Вычислить производные первого порядка: а) ; б) ; ) .

Условие:

Вычислить производные первого порядка: а) $y=\operatorname{arctg}(\sin 5 x) \cdot \ln ^{2} x$ ; б) $y=\sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ ;\nc) $y=\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Решение:

a) $y=\operatorname{arctg}(\sin 5 x) \cdot \ln ^{2} x$

Шаг 1: Применим правило произведения. Если у нас есть функция вида $y = u(x) \cdot v(x)$ , то производная $y'$ будет вычисляться по формуле:

\ny' = u'v + uv'

где $u = \operatorname{arctg}(\sin 5 x)$ и $v = \ln^2 x$ .

Шаг 2: Найдем производные $u'$ и $v'$ .

Для $u = \operatorname{arctg}(\sin 5 x)$ : Используем цепное правило:

$\nu' = \frac{1}{1 + (\sin 5 x)^2} \cdot \cos 5 x \cdot 5 = \frac{5 \cos 5 x}{1 + \sin^2 5 x}$
Для $v = \ln^2 x$ :